Question

19．等腰△ABC中，AB=AC，如果一條腰長(zhǎng)為5，一條中線為3，求底角的正弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可分兩種情況，然后分類討論計(jì)算各邊的值，從而可以解答本題．

解答 解：根據(jù)題題可知，分兩種情況：
第一種情況：當(dāng)這條中線為底邊中線時(shí)，
∵等腰△ABC中，AB=AC，
∴底邊上的中線也是底邊上的高．
∵腰長(zhǎng)為5，中線為3，
∴底角的正弦值=$\frac{3}{5}$．
第二種情況：當(dāng)這條中線為腰上的中線時(shí)，
等腰△ABC中，AB=AC，腰長(zhǎng)為5，腰上的中線為3，
cos∠BAC=$\frac{{5}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}-{3}^{2}}{2×5×\frac{5}{2}}$，
cos∠BAC=$\frac{{5}^{2}+{5}^{2}-B{C}^{2}}{2×5×5}$．
解得BC=$\frac{\sqrt{22}}{2}$．
∴底邊上的高為：$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{22}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{25-\frac{11}{8}}=\frac{3\sqrt{42}}{4}$．
∴底角的正弦值=$\frac{\frac{3\sqrt{42}}{4}}{5}=\frac{3\sqrt{42}}{20}$．
即底角的正弦值是$\frac{3}{5}或\frac{3\sqrt{42}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行解答，找出所求問題需要的條件．