Question

13．如圖，矩形ABCO中，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標是（-6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與OA、x軸分別交于點D、F．
（1）直接寫出線段BO的長：
（2）求點D的坐標；
（3）若點N是平面內任一點，在x軸上是否存在點M，使咀M、N、E、O為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，由勾股定理即可得出答案；
（2）由折疊的性質得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，求出OE=BO-BE=4，∠OED=90°，設D（0，a），則OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）①當OM、OE都為菱形的邊時，OM=OE=4，得出M的坐標為（4，0）或（-4，0）；
②當OM為菱形的邊，OE為對角線時，MN垂直平分OE，垂足為G，則OG=$\frac{1}{2}$OE=2，由三角函數求出OM即可；
③當OM為菱形的對角線，OE為邊時，同②得：M（-$\frac{24}{5}$，0）；即可得出結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點B的坐標是（-6，8）．
∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，
∴BO=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10；

（2）由折疊的性質得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，
∴OE=BO-BE=10-6=4，∠OED=90°，
設D（0，a），則OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE²+OE²=OD²，
即（8-a）²+4²=a²，解得：a=5，
∴D（0，5）；

（3）存在，點M的坐標為（4，0）或（-4，0）或（-$\frac{10}{3}$，0）或（-$\frac{24}{5}$，0）；理由如下：
①當OM、OE都為菱形的邊時，OM=OE=4，
∴M的坐標為（4，0）或（-4，0）；
②當OM為菱形的邊，OE為對角線時，MN垂直平分OE，垂足為G，如圖1所示：
則OG=$\frac{1}{2}$OE=2，
則cos∠MOG=cos∠BOC，
∴$\frac{OG}{OM}=\frac{OC}{OB}$，即$\frac{2}{OM}=\frac{6}{10}$，
解得：OM=$\frac{10}{3}$，
∴M（-$\frac{10}{3}$，0）；
③當OM為菱形的對角線，OE為邊時，如圖2所示：
同②得：M（-$\frac{24}{5}$，0）；
綜上所述，在x軸上存在點M，使以M、N、E、O為頂點的四邊形是菱形，點M的坐標為（4，0）或（-4，0）或（-$\frac{10}{3}$，0）或（-$\frac{24}{5}$，0）．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，三角函數，菱形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．