Question

3．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0）和點C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若拋物線的頂點為P，連接PC并延長與x軸相交于點M，x軸上另一點N，若S_△PMN=4S_△POC，求點N的坐標；
（3）在上述條件下，在拋物線或坐標軸上是否存在點G，使△GMC與△OPC相似？若存在，求點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，把點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）的坐標代入得到方程組求解即可；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式得到拋物線的頂點P的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法得到直線PC的解析式，令y=0，得到點M的坐標，再根據(jù)S_△PMN=4S_△POC，得到
MN的長，進一步得到點N的坐標；
（3）分點G在x軸上，點G在y軸上，點G在拋物線上三種情況討論即可求解．

解答 解：（1）把點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）的坐標代入拋物線y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式y(tǒng)=x²+2x-3；
（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴拋物線的頂點P為（-1，-4），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，把點P（-1，-4），C（0，-3）的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
故直線PC的解析式為y=x-3，
令y=0，則x=3，即M（3，0），
∵S_△PMN=4S_△POC，
∴$\frac{1}{2}$MN×4=4×$\frac{1}{2}$×3×1
解得MN=3，
∴N（0，0）或N（6，0）；
（3）如圖所示：

故G（5，0）或G（12，0）或G（0，-5）或G（0，-12）或G（-2，-3）或（3，12）．

點評 考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度．