Question

5．已知關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+4k-2=0
（1）求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長為a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=（2k-3）²≥0，由此可得出：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）當a為底時，由根的判別式△=（2k-3）²=0可求出k值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出b+c=4，由b+c=a可知此種情況不符合題意；當a為腰時，將x=4代入原方程求出k值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出b+c=6，套用三角形的周長公式即可求出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在方程x²-（2k+1）x+4k-2=0中，
△=[-（2k+1）]²-4（4k-2）=4k²-12k+9=（2k-3）²≥0，
∴不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；

（2）解：當a為底邊時，b=c，
∴△=（2k-3）²=0，解得：k=$\frac{3}{2}$，
∴b+c=2k+1=4=a，
∴此種情況不合適；
當a為腰時，將x=4代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，
解得：k=$\frac{5}{2}$．
∴b+c=2k+1=6，
∴△ABC的周長=a+b+c=4+6=10．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）找出根的判別式△=（2k-3）²≥0；（2）分a為底或腰兩種情況考慮．