Question

9．如圖，AE∥BF，小王沿路線E→A→P₁→B→F從E走到F，小李沿路線E→A→P₁→P₂→B→F從E走到F，小徐沿路線E→A→P₁→P₂→P₃→B→F從E走到F．在走的過(guò)程中，小王說(shuō)他轉(zhuǎn)過(guò)的角度最少，小徐說(shuō)他轉(zhuǎn)過(guò)的角度最多，小李說(shuō)他們?nèi)�人轉(zhuǎn)過(guò)的角度一樣多．你認(rèn)為他們?nèi)�人的說(shuō)法有道理嗎？為什么？

Answer 1

分析 連接AB，如圖1、圖2、圖3，可利用平行線的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和定理求出∠EAP₁+∠P₁+∠P₁BF、∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂BF、∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BF的度數(shù)，而小王、小李、小徐轉(zhuǎn)過(guò)的角度又分別是這些角補(bǔ)角的和，從而可求出他們轉(zhuǎn)過(guò)的角度，問(wèn)題得以解決，

解答 解：小李說(shuō)法正確．
①連接AB，如圖1，
∵AE∥BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°．
∵∠P₁AB+∠P₁+∠P₁BA=180°，
∴∠EAP₁+∠P₁+∠P₁BF=360°．
∴小王轉(zhuǎn)過(guò)的角度為180°-∠EAP₁+180°-∠P₁+180°-∠P₁BF
=540°-（∠EAP₁+∠P₁+∠P₁BF）=540°-360°
=180°；
②連接AB，如圖2，
∵AE∥BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°．
∵∠P₁AB+∠P₁+∠P₂+∠P₂BA=360°，
∴∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂BF=540°．
∴小李轉(zhuǎn)過(guò)的角度為180°-∠EAP₁+180°-∠P₁+180°-∠P₂+180°-∠P₂BF
=720°-（∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂BF）
=720°-540°
=180°；
③連接AB，如圖3，
∵AE∥BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°．
∵∠P₁AB+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BA=540°，
∴∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BF=720°．
∴小徐轉(zhuǎn)過(guò)的角度為180°-∠EAP₁+180°-∠P₁+180°-∠P₂+180°-∠P₃+180°-∠P₃BF
=900°-（∠EAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠P₃BF）
=900°-720°
=180°；
綜上所述：他們?nèi)�人轉(zhuǎn)過(guò)的角度一樣多，小李說(shuō)法正確．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角等知識(shí)，弄清三人轉(zhuǎn)過(guò)的角度與圖中角的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．