Question

14．如圖，半徑為5的⊙O中，AB是直徑，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的長及△OCD的面積．

Answer 1

分析 過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△ODE∽△BOE，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出OD的長，由勾股定理得出DE的長，進(jìn)而得出CD的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，
∵BC=8，
∴CE=BE=4，OE=3．
∵OD⊥AB，
∴∠BEO=∠OED=90°，
∵∠ODE+∠OBE=90°，∠ODE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠OBE，
∴△ODE∽△BDO，
∴$\frac{OE}{BE}$=$\frac{DE}{OE}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{DE}{3}$，解得DE=$\frac{9}{4}$，
∴CD=CE-DE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$CD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$×3=$\frac{21}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．