Question

9．問題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，△ABC與△ADE是等邊三角形，且點B，D，E在同一直線上，連接CE，求∠BEC的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關系．
拓展探究：
如圖②，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且點B，D，E在同一直線上，AF⊥BE于F，連接CE，求∠BEC的度數(shù)，并確定線段AF，BF，CE之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等邊三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，據(jù)此判斷出∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD=CE，∠BDA=∠CEA，進而判斷出∠BEC的度數(shù)為60°即可；
（2）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，據(jù)此判斷出∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD=CE，∠ADB=∠AEC，進而判斷出∠BEC的度數(shù)為90°即可；最后根據(jù)∠DAE=90°，AD=AE，AF⊥DE，
得到AF=DF=EF，于是得到結論．

解答 解：（1）∵△ACB和△ADE均為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵點B，D，E在同一直線上，
∴∠ADB=180-60=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120-60=60°，
綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關系是：BD=CE．

（2）∵△ACB和△DAE均為等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADB=180-45=135°，
∴∠AEC=135°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135-45=90°；
∵∠DAE=90°，AD=AE，AF⊥DE，
∴AF=DF=EF，
∴DE=DF+EF=2AF，
∴BF=BD+DF=CE+AF．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件；
此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．