Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BC邊上的動點(diǎn)，且CE=BF，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上運(yùn)動時，下列結(jié)論：
①∠EDF=90°；
②△DEF為等腰直角三角形；
③S_{四邊形CEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
④EF=$\frac{1}{2}$AB．
其中正確的結(jié)論有①②③．（填序號）

Answer 1

分析 解答此題的關(guān)鍵是在于判斷△DFE是否等腰直角三角形；作常規(guī)輔助線，連接CD，由SAS定理可得△ADE≌△CDF，從而可證∠EDF=90°可得DF=DE，可得△DFE是等腰直角三角形正確；再由補(bǔ)割法可證③是正確的．

解答 解：如圖，連接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AC=BC，CE=BF，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，
故①②正確；
∵△ADE≌△CDF，
∴S_△CDF=S_△ADE，
∴S_{四邊形CDFE}=S_△CDF+S_△CDE=S_△ADE+S_△CDE=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故③正確；
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC運(yùn)動，
∴EF不一定等于$\frac{1}{2}$BC，
故④錯誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 此題考查的知識點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題．利用“割補(bǔ)法”是求不規(guī)則圖形的面積的常用方法．