Question

10．如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M．
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求BM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過O作ON⊥CD于N，然后證ON的長(zhǎng)等于⊙O的半徑即可；連接OM，根據(jù)正方形和角平分線的性質(zhì)，證OM=ON即可．
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，可用⊙O的半徑表示出OA、OM、OC的長(zhǎng)，然后根據(jù)AC的長(zhǎng)度求出⊙O的半徑，即可求出BM的長(zhǎng)．

解答 （1）CD與⊙O相切，
證明：過O作ON⊥CD于N，連接OM，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，
∴OM⊥BC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=90°，AB∥CD，
∴AB∥OM∥DC，
∵AC為正方形ABCD對(duì)角線，
∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，
∵OM=ON，
∴CD與⊙O相切；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OM=R．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴AC=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$-R．
在Rt△OMC中，
∵sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$，
∴sin45°=$\frac{R}{\sqrt{2}}$，
解得R=2-$\sqrt{2}$，
∴BM=1-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)、切線的判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正方形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線、圓的半徑之間的關(guān)系．