Question

19．如圖，BC=2，A為半徑為1的⊙B上一點，連接AC，在AC上方作一個正六邊形ACDEFG，連接BD，則BD的最大值為$2\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由正六邊形的性質(zhì)得出AC=CD，∠ACD=120°，把△ABC和⊙B繞點C旋轉(zhuǎn)120°得△DHC和⊙H，BH的延長線與⊙H的交點為M，作CN⊥BM于N，則BM的長度就是DB達(dá)到的最大值，∠BCH=120°，CH=CB=2，BN=HN，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠B=∠CHB=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出CN=$\frac{1}{2}$BC=1，由勾股定理得出BN=$\sqrt{B{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，得出BH=2BN=2$\sqrt{3}$，求出BM=BH+HM=2$\sqrt{3}$+1即可．

解答 解：∵六邊形ACDEFG是正六邊形，
∴AC=CD，∠ACD=（6-2）×180°÷6=120°，
把△ABC和⊙B繞點C旋轉(zhuǎn)120°得△DHC和⊙H，BH的延長線與⊙H的交點為M，
作CN⊥BM于N，如圖所示：
則BM的長度就是DB達(dá)到的最大值，∠BCH=120°，CH=CB=2，BN=HN，
∴∠B=∠CHB=（180°-120°）÷2=30°，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴BN=$\sqrt{B{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BH=2BN=2$\sqrt{3}$，
∴BM=BH+HM=2$\sqrt{3}$+1，
即BD的最大值為2$\sqrt{3}$+1，
故答案為：2$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．