Question

10．如圖，頂點(diǎn)為（1，4）的拋物線y=ax²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+n交于點(diǎn)A（2，2），直線y=$\frac{1}{2}$x+n與y軸交于點(diǎn)B與x軸交于點(diǎn)C
（1）求n的值及拋物線的解析式
（2）P為拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)軸點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
（3）點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為軸上一點(diǎn)，以A、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊為平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法先求出n的值，進(jìn)而求出拋物線解析式；
（2）先利用對(duì)稱(chēng)性判斷出MN=2NH，進(jìn)而建立方程化簡(jiǎn)得到m=-2x²+4x①，再判斷出△COB∽△CMH和△HMP'∽△CMH，判斷出MH=2PN，進(jìn)而建立方程化簡(jiǎn)得出4x=3m-2②聯(lián)立方程組求解即可；
（3）分AB為平行四邊形的對(duì)角線和邊即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）A（2，2）代入$y=\frac{1}{2}x+n$得n=1
設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-1）²+4代入點(diǎn)A（2，2），可得a=-2
所以?huà)佄锞�的解析式y(tǒng)=2（x-1）²+4=-2x²+4x+2，
（2）如圖1．設(shè)PP'與AC的交點(diǎn)為H，
作HM⊥x軸于M，作PN⊥HM與N
設(shè)$P（x，-2{x^2}+4x+2），H（m，\frac{1}{2}m+1）$，
∵點(diǎn)P'是點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴PH=P'H，
易得，△HNP≌△HMP'，
∴MH=NH，
∴NM=2NH，
∴-2x²+4x+2=m+2，
∴m=-2x²+4x①
∵直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴B（0，1），C（-2，0），
∴OB=1，OC=2，
∵OB∥HM，
∴△COB∽△CMH，
∴$\frac{OC}{CM}=\frac{OB}{MH}$，
∴CM=2MH，
易證，△HMP'∽△CMH，
∴$\frac{P'M}{MH}=\frac{MH}{CM}$，
∴$\frac{P'M}{MH}=\frac{MH}{2MH}$=$\frac{1}{2}$，
∴MH=2P'M=2PN
∴$\frac{1}{2}m+1=2（m-x）$，
∴4x=3m-2②
聯(lián)立①②解得x=1或$x=\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4）或$（\frac{1}{3}，\frac{28}{9}）$，

（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為A（t，0），以AB為邊或?qū)�角線進(jìn)行分類(lèi)討論：
①如圖4，當(dāng)AB是平行四邊行的邊時(shí)，AB∥DE，AB=DE
由于點(diǎn)B（0，1）先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到A（2，2），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)可以表示為D（t+2，1）
將D（t+2，1）代入y=2（x-1）²+4，得-2（t+1）²+4=1
解得$t=\frac{{-2±\sqrt{6}}}{2}$，
此時(shí)$E（\frac{{-2+\sqrt{6}}}{2}，0）$或$（\frac{{-2-\sqrt{6}}}{2}，0）$，
②當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
設(shè)AB的中點(diǎn)$G（1，\frac{3}{2}）$，點(diǎn)E（t，0），
關(guān)于$G（1，\frac{3}{2}）$的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo)可以表示為（2-t，3）
將D（2-t，3）代入y=-2（x-1）²+4，得-2（1-t）²+4=3
解得$t=\frac{{-2±\sqrt{2}}}{2}$，
∴$E（\frac{{-2+\sqrt{2}}}{2}，0）$或$（\frac{{-2-\sqrt{2}}}{2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是得出MN=2NH和MH=2PN，解（3）的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，解本題的重點(diǎn)是用方程的思想思考問(wèn)題，是一道難度比較大的中考?jí)狠S題．