Question

16．已知二次函數y=x²-（m+3）x+2m-1．
（1）證明：無論m取何值時，其圖象與x軸總有兩個交點；
（2）當其圖象與y軸交于點A（0，5）時，求m的值；
（3）設由（2）確定的二次函數的圖象與x軸自左向右依次交于點B、C，頂點為D，直線y=kx．
①問是否存在k的值，使得直線y=kx既平分△AOD的面積，又平分它的周長？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；
②設直線y=kx與AD相交于點P，問是否存在以O、P、A（或D）為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）計算出△，可以證明△大于0，即可說明圖象與x軸總有兩個交點；
（2）將點A（0，5）代入，即可求出m的值；
（3）①可以證明△AOD是以O為頂點的等腰三角形，所以當直線y=kx經過線段AD的中點時即可；
②由①知△AOD是以O為頂點的等腰三角形，只要使OP=AP即可，進而求出P的值．

解答 解：（1）△=（m+3）²-4（2m-1）
=m²-2m+13
=（m-1）²+12＞0，
∴無論m取何值時，其圖象與x軸總有兩個交點；
（2）將點A（0，5）代入可得：2m-1=5，
解得：m=3；
（3）由（2）知m=3，
∴此拋物線的解析式為：y=x²-6x+5，
當y=0時，0=x²-6x+5，解得：x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0），頂點D（3，-4），
設直線AD的解析式為y=ax+b，將點A（0，5）和點D（3，-4）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{3a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=-3x+5；
①存在，k=$\frac{1}{3}$．
如圖，過點D作DV⊥y軸，則：DV=3，OV=3，
∴OD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，∴OD=OE，
過點O作OE⊥AD，則E為AD的中點，
過點E作EW⊥y軸，垂足為W，
∴WE∥DV，
∴△AWE∽△AVD，
∴$\frac{AW}{AV}$=$\frac{WE}{DV}=\frac{AE}{AD}$，即：$\frac{AW}{9}$=$\frac{WE}{3}=\frac{1}{2}$，
∴WE=$\frac{3}{2}$，AW=$\frac{9}{2}$，
∴OW=5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴點E（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
把點E代入y=kx，得：
$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}k$，
∴k=$\frac{1}{3}$；
②存在點P（$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{2}$）或P（$\frac{13}{6}$，-$\frac{3}{2}$），
設直線AD的解析式為y=kx+b，
將點A（0，5）和點D（3，-4）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=-3x+5
∵△OAD是等腰三角形，∴當OP=AP時即可，
過點P作PM⊥y軸，垂足為M，則M為OA的中點，
∴OM=$\frac{5}{2}$，
當y=$\frac{5}{2}$時，$-3x+5=\frac{5}{2}$，
解得：x=$\frac{5}{6}$，
∴點P（$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{2}$）
同理可得P（$\frac{13}{6}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點問題，以及求一次函數的解析式以及二次函數的解析式的問題，還有二次函數與三角形相似結合的問題，綜合性很強，注意總結．