Question

13．如圖所示，兩圓O₁，O₂相交于PQ兩點，過P點有兩條直線AB、CD，直線AB分別與兩圓O₁，O₂交于點A、B（A、B在P點兩側(cè)），直線CD分別與兩圓O₁，O₂交于點C、D（C、D在P點兩側(cè)），直線AC與BD交于點E．
（1）證明：∠AQC=∠BQD；
（2）若∠AQB=120°，求∠E．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得出：∠AQC=∠APC，∠BPD=∠DQB，進(jìn)而求出答案；
（2）利用三角形的外角以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ACP+∠E+∠PQB=180°，進(jìn)而得出答案．

解答 （1）證明：∵∠AQC=∠APC，∠BPD=∠DQB，
∠APC=∠BPD，
∴∠AQC=∠BQD；

（2）解：∵∠ACP=∠AQP，∠AQB=120°，
∴∠ACP+∠PQB=120°，
∵∠ACP+∠E=∠CDB，
∠CDB+∠PQB=180°，
∴∠ACP+∠E+∠PQB=180°，
∴∠AQP+∠E+∠PQB=180°，
則∠E+∠AQB=180°，
故∠E=180°-∠AQB=180°-120°=60°．

點評 此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及三角形的外角等知識，熟練應(yīng)用圓周角定理是解題關(guān)鍵．