Question

1．如圖，在Rt△ABC中，點D、E分別在AC、BC上，將△CDE沿直線DE翻折，點C恰好落在斜邊AB的中點M處．
（1）求證：DE垂直平分CM；
（2）△CDE與△CBA相似嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）利用折疊的性質(zhì)得點C和點M關(guān)于DE對稱，然后根據(jù)對稱的性質(zhì)即可判斷DE垂直平分CM；
（2）設(shè)CM交DE于點O，如圖，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得MC=MB=MA，則∠B=∠MCB，再根據(jù)等角的余角相等得到∠CDO=∠OCE，所以∠CDO=∠B，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△CDE∽△CBA．

解答 （1）證明：∵△CDE沿直線DE翻折，點C恰好落在斜邊AB的中點M處，
∴點C和點M關(guān)于DE對稱，
∴DE垂直平分CM；
（2）△CDE∽△CBA．理由如下：
設(shè)CM交DE于點O，如圖，
∵點M為斜邊AB的中點，
∴MC=MB=MA，
∴∠B=∠MCB，
∵OC⊥DE，
∴∠COD=90°，
∴∠OCD+∠CDO=90°，
而∠OCD+∠OCE=90°，
∴∠CDO=∠OCE，
∴∠CDO=∠B，
而∠DCE=∠BCA，
∴△CDE∽△CBA．

點評 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了折疊的性質(zhì)．