Question

9．如圖，四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∠APB=120°，PC平分∠APB，AP，CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2$\sqrt{3}$
①求PD的長(zhǎng)．
②圖中弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積為3$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合∠APB=120°可得出∠BPC=60°，利用圓周角定理可求出∠BAC=60°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出∠ACB=60°，由此即可證出△ABC是等邊三角形；
（2）①通過(guò)解含30度角的直角三角形可求出AP、AD的長(zhǎng)度，二者做差即可得出PD的長(zhǎng)；
②根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)找出∠PBC=90°，取PC的中點(diǎn)O，連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，利用分割圖形求面積法即可求出弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積．

解答 （1）證明：∵∠APB=120°，PC平分∠APB，
∴∠BPC=∠APC=$\frac{1}{2}$∠APB=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°．
∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∠APB=120°，
∴∠ACB=180°-∠APB=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
（2）解：①在Rt△PAC中，∠APC=60°，∠PAC=90°，AC=AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠PCA=30°，
∴PC=2PA．
∵PC²=PA²+AC²，
∴PA=2，PC=4．
同理，可求出CD=4$\sqrt{3}$，AD=6，
∴PD=AD-PA=4．
②∵∠PAC=90°，四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PBC=90°．
取PC的中點(diǎn)O，連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，如圖所示，
∴PO=$\frac{1}{2}$PC=2，OE=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$PA=1，
∴弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積=S_△PCD-S_△OBC-S_扇形POB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1-$\frac{60}{360}$π×2²=3$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案為：3$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形的面積公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的面積以及解含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠BAC=∠ACB=60°；（2）①通過(guò)解含30度角的直角三角形求出AP、AD的長(zhǎng)度；②利用分割圖形求面積法求出弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積．