Question

17．線段AB、CD交于O，若AB=CD，且AB⊥CD，求證：AC+BD＞$\sqrt{2}$AB．

Answer 1

分析 作?ABEC，連接DE，得到AC=BE，AB=CE=CD，由AB⊥CD，AB∥CE，得到△CED是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求得DE=$\sqrt{2}CD$=$\sqrt{2}$AB，由三角形的三邊關系得到結論．

解答 解：如圖作?ABEC，連接DE，
∴AC=BE，
∴AB=CE=CD，
∵AB⊥CD，AB∥CE，
∴∠ECD=90°
∴△CED是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}CD$=$\sqrt{2}$AB，
在△BED中，BE+BD=AC+BD＞DE，
∴AC+BD＞$\sqrt{2}$AB．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，等腰直角三角形的性質，三角形的三邊關系，正確的作出輔助線是解題的關鍵．