Question

9．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，-4），點(diǎn)A是該圖象第一象限分支上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，頂點(diǎn)C在第四象限，AC與x軸交于點(diǎn)P，連結(jié)BP．在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2$\sqrt{2}$，-2）．

Answer 1

分析 連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，則有△AOE≌△OCF，進(jìn)而可得出AE=OF、OE=CF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出$\frac{CP}{AP}$=$\frac{CF}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{OE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，$\frac{4\sqrt{2}}{a}$）（a＞0），由$\frac{OE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可求出a值，由此即可得出CF、OF的長(zhǎng)度，結(jié)合圖形即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，如圖所示．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OA=OC，OC⊥AB，
∴∠AOE+∠COF=90°．
∵∠COF+∠OCF=90°，
∴∠AOE=∠OCF．
在△AOE和△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠OFC=90°}\\{∠AOE=∠OCF}\\{OA=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE=OF，OE=CF．
∵BP平分∠ABC，
∴$\frac{CP}{AP}$=$\frac{CF}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，-4），
∴k=-$\sqrt{2}$×（-4）=4$\sqrt{2}$，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，$\frac{4\sqrt{2}}{a}$）（a＞0），
∴$\frac{a}{\frac{4\sqrt{2}}{a}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=2或a=-2（舍去），
∴CF=OE=a=2，OF=AE=$\frac{4\sqrt{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，-2）．
故答案為：（2$\sqrt{2}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，找出CF、OF的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．