Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+m-2的頂點(diǎn)在x軸上．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，
①若在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠POQ=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②拋物線與直線y=2交于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），將此拋物線在點(diǎn)E，F(xiàn)（包含點(diǎn)E和點(diǎn)F）之間的部分沿x軸平移n個(gè)單位后得到的圖象記為G，若在圖象G上存在點(diǎn)P，使得∠POQ=45°，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得出關(guān)于m的方程，可得m的值，可得函數(shù)解析式；
（2）①由題意得，點(diǎn)P是直線y=x與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立拋物線解析式可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②根據(jù)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（2，2）時(shí)，n=2．當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（-2，2）時(shí)，n=-6．依此可求n的取值范圍．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+m-2=$\frac{1}{2}$（x-m）²+m-2，
由題意，可得m-2=0．
∴m=2，
∴y=$\frac{1}{2}$（x-2）²．
（2）①由題意得，點(diǎn)P是直線y=x與拋物線的交點(diǎn)．
∴x=$\frac{1}{2}$（x-2）²，
解得x₁=3+$\sqrt{5}$，x₂=3-$\sqrt{5}$．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3+$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$）或（3-$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）．
②∵∠POQ=45°，
∴E點(diǎn)或F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，
∴當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（2，2）時(shí)，n=2．
當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（-2，2）時(shí)，n=-6．
由圖象可知，符合題意的n的取值范圍是-6≤n≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)綜合題，拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，利用配方法得出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．