Question

13．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．“蛋圓”被平行于y軸的直線截得的最大弦長6．
（1）寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式及自變量的取值范圍；
（2）①“蛋圓”被y軸的直線截得的弦CD的長為$\sqrt{3}$+3；
②過點C的“蛋圓”切線交x軸于G，求G點的坐標；
（3）P點在線段OB上運動，過P作x軸的垂線，交拋物線于點E，交BD于點F，連結(jié)DE和BE后，是否存在這樣的點E，使△BDE的面積最大？若存在，請求出點E的坐標和△BDE面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點M作GH∥y軸，交“蛋圓”于N、H，如圖，則GH=6，由于NM=2，M（1，0），易得H（1，-4），再利用半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2可確定A（-1，0），B（3，0），于是可利用交點時求出
“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；
（2）①連結(jié)CM，如圖，在Rt△OCM中利用勾股定理計算出OC=$\sqrt{3}$，根據(jù)y軸上點的坐標特征確定D（0，-3），則OD=3，所以CD=$\sqrt{3}$+3；
②由于GC切“蛋圓”的半圓于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠MCG=90°，根據(jù)含30度直角三角形三邊關(guān)系，有OM=1，MC=2得到∠MCO=30°，則利用等角的余角相等得∠CGM=30°，所以MG=2MC=4，易得G（-3，0）；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=x-3，設(shè)E（x，x²-2x-3），則F（x，x-3），所以EF=-x²+3x，根據(jù)三角形面積公式得S_△BDE=S_△DEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•OB=$\frac{1}{2}$•3•（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 解：（1）過點M作GH∥y軸，交“蛋圓”于N、H，如圖，則GH=6，
∵NM=2，
∴MH=4，
而M（1，0），
∴H（1，-4），
∵半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2，
∴A（-1，0），B（3，0），
設(shè)“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=a（x+1）（x-3），
把H（1，-4）代入得a•2•（-2）=-4，解得a=1，
∴“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；
（2）①連結(jié)CM，如圖，
在Rt△OCM中，∵OM=1，MC=2，
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
當x=0時，y=x²-2x-3=-3，則D（0，-3），
∴OD=3，
∴CD=OC+OD=$\sqrt{3}$+3；
故答案為$\sqrt{3}$+3；
②∵GC切“蛋圓”的半圓于C，
∴MC⊥CG，
∴∠MCG=90°，
∵OM=1，MC=2，
∴∠MCO=30°，
∴∠CGM=30°，
∴MG=2MC=4，
∴OG=GM-OM=4-1=3，
∴G（-3，0）；
（3）存在．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），D（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=x-3，
設(shè)E（x，x²-2x-3），
∵PE⊥x軸，
∴F（x，x-3），
∴EF=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∵S_△BDE=S_△DEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•OP+$\frac{1}{2}$EF•BP=$\frac{1}{2}$•EF•OB=$\frac{1}{2}$•3•（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S_△BDE有最大值，最大值為$\frac{27}{8}$，
此時E點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和切線的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；接著含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．