Question

6．（1）已知如圖（1），求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）利用（1）的結論，解答下列問題：
①如圖（2），將一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C．若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD=35°；
②如圖（3），∠BOC=70°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
③如圖（4），∠ABD、∠ACD的10等分線分別相交于點G₁、G₂、…、G₉，∠BDC=150°，∠BG₁C=69°，試求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角和外角的關系解答；
（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結論；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角和外角的關系解答即可；③由角平分線的性質(zhì)可得：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁，而∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點G₁、G₂…、G₉，則∠ABG₁=$\frac{1}{10}$∠ABD，∠ACG₁=$\frac{1}{10}$∠ACD，所以10∠BG₁C=10∠A+∠ABD+∠ACD，利用等式的性質(zhì)得到10∠BG₁C-∠BDC=9∠A，進而可求出∠A的度數(shù)．

解答 （1）證明：延長BD交AC于點E，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠A+∠B，
∵∠BDC是△CED的外角，
∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B；

（2）①解：在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A=35°；
故答案為：35°；
②∵∠BOC=70°，
∴∠BOF=∠EOC=110°，
由（1）知∠BOF=∠D+∠B+∠F，∠COE=∠A+∠C+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOF+∠EOC=220°；
③∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁，
而∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點G₁、G₂…、G₉，
∴∠ABG₁=$\frac{1}{10}$∠ABD，∠ACG₁=$\frac{1}{10}$∠ACD，
∴10∠BG₁C=10∠A+∠ABD+∠ACD，
∴10∠BG₁C-∠BDC=9∠A，
∴∠A=$\frac{1}{9}$（10×69°-150°）=60°．

點評 此題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．