Question

2．觀察下列等式，然后解決問題：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$．
（1）請(qǐng)用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上述規(guī)律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n為正整數(shù)）；；
（2）利用上述規(guī)律，求下列式子的值：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）（$\sqrt{2016}+1$）

Answer 1

分析 （1）觀察已知等式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）根據(jù)得出的規(guī)律將原式化簡(jiǎn)，合并即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n為正整數(shù)）；
故答案為：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n為正整數(shù)）；
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）（$\sqrt{2016}$+1）=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）=2016-1=2015．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分母有理化，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．