Question

20．如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作a；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長(zhǎng)度為m，回答下列問(wèn)題：
探究：（1）若R=2，m=1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是$\sqrt{3}$+1；如圖2，當(dāng)a=60°時(shí)，半圓O與射線AB相切；
（2）如圖3，在（1）的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿(mǎn)足要求的R，并說(shuō)明理由．
（3）發(fā)現(xiàn)：（3）如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系；cosα=$\frac{R-m}{R}$（用含有R、m的代數(shù)式表示）
拓展：（4）如圖5，若R=m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是90°＜α≤120°，并求出在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部分（弓形）面積的最大值（用m表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=$\frac{O′E}{O′M}$=$\frac{1}{2}$，推出α=60°．
（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問(wèn)題、
（4）當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°．當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，求出此時(shí)的面積即可．

解答 解：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．想辦法求出O′E的長(zhǎng)即可．

在Rt△MFO′中，∵∠MO$′\\;F$F=30°，MO′=2，
∴O′F=O′M•cos30°=$\sqrt{3}$，O′E=$\sqrt{3}$+1，
∴點(diǎn)O′到AB的距離為$\sqrt{3}$+1．
如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，

∴AE=O′F=2，
∵AM=1，
∴EM=1，
在Rt△O′EM中，sinα=$\frac{O′E}{O′M}$=$\frac{1}{2}$，
∴α=60°
故答案為$\sqrt{3}$+1，60°．

（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．

∵O′P=R，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R+1，
∴R=4+2$\sqrt{3}$．

（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．

在Rt△O′QM中，O′Q=R•cosα，QP=m，
∵O′P=R，
∴R•cosα+m=R，
∴cosα=$\frac{R-m}{R}$．
故答案為$\frac{R-m}{R}$．

（4）如圖5中，

當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°
故答案為90°＜α≤120°；
當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，
所以S═$\frac{120•π•{m}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$m•$\frac{1}{2}$m=$\frac{π{m}^{2}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形或特殊四邊形解決問(wèn)題，所以中考?jí)狠S題．