Question

11．如圖，一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（6，0），C（0，-3），D為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)OD的中點(diǎn)E，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，G為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后求出D和E的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{4}$m²-m-3），根據(jù)以F、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，即可找出關(guān)于m的含絕對(duì)值符合的一元二次方程，解之即可得出m值，將其代入點(diǎn)G的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A（-2，0）、B（6，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
∵y=$\frac{1}{4}$x²-x-3=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-2），
∴直線EF的解析式為x=1．
設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{4}$m²-m-3），
∵以F、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴|m-1|=|$\frac{1}{4}$m²-m-3|，
解得：m₁=4-2$\sqrt{6}$，m₂=4+2$\sqrt{6}$，m₃=-4，m₄=4．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．
故答案為：（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)以及解一元二次方程，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．