Question

15．已知a、b為直角三角形兩直角邊，且a、b為一元二次方程：x²-（2k+1）x+k²+k+$\frac{1}{4}$=0的兩根．
（1）求證：△ABC為等腰直角三角形；
（2）P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，當(dāng)k=$\frac{7}{2}$時(shí)，P運(yùn)動(dòng)到何處，矩形PECF面積最大？最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）由于a、b為一元二次方程：x²-（2k+1）x+k²+k+$\frac{1}{4}$=0的兩根．根據(jù)△=[-（2k+1）]²-4（k²+k+$\frac{1}{4}$）=4k²+4k+1-4k²-4k-1=0，判斷此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，于是得到a=b，即可得到結(jié)論；
（2）將k=$\frac{7}{2}$代入方程得x²-8x+16=0，求得a=b=4，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到AE=PE=CF，BF=CE=PF，設(shè)AE=m，則EP=m，CE=4-m，PF=BF=4-m，然后根據(jù)面積的和差即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵a、b為一元二次方程：x²-（2k+1）x+k²+k+$\frac{1}{4}$=0的兩根．
∴△=[-（2k+1）]²-4（k²+k+$\frac{1}{4}$）=4k²+4k+1-4k²-4k-1=0，
∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴a=b，
∵a、b為直角三角形兩直角邊，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（2）將k=$\frac{7}{2}$代入方程得x²-8x+16=0，
解得x₁=x₂=4，
∴a=b=4，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴△AEP與△BPF是等腰直角三角形，
∵四邊形PECF是矩形，
∴PE=CF，CE=PF，
設(shè)AE=m，則EP=m，CE=4-m，PF=BF=4-m，
矩形ECFP的面積=4×4÷2-m•m÷2-﹙4-m﹚×﹙4-m﹚÷2=8-$\frac{1}{2}$m²-8-$\frac{1}{2}$m²+4m=-m²+4m=-﹙m-2﹚²+4，
當(dāng)m=2時(shí)矩形面積最大，
即AE=2，也就是E為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)最大，
∴最大值為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的面積，求最大值問(wèn)題，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．