Question

18．【探究活動(dòng)】
如圖1：已知直線a與b平行，直線c與直線a、b分別相交于點(diǎn)A、B，直線d與直線a、b分別相交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)P在直線c上移動(dòng)，連接PC、PD．探究∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的數(shù)量關(guān)系．
【探究過程】
（1）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間移動(dòng)時(shí)，如圖2，寫出∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外移動(dòng)時(shí)，如圖3，寫出∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的關(guān)系，并說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外移動(dòng)時(shí)，如圖4，直接寫出∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，由于AC∥BD，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，據(jù)此可得∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的關(guān)系；
（2）同樣，過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，由于AC∥BD，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，據(jù)此可得∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的關(guān)系；
（3）運(yùn)用（2）中的方法，過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，由于AC∥BD，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，據(jù)此可得∠CPD、∠PCA、∠PDB之間的關(guān)系．

解答 解：（1）∠CPD=∠PCA+∠PDB．
理由：如圖2，過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PDB-∠PCA；
理由：如圖3，過P點(diǎn)作PE∥BD交CD于E點(diǎn)，
∵AC∥BD，
∴PE∥AC，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠PDB-∠PCA；

（3）∠CPD=∠PCA-∠PDB．
理由如下：如圖4，過P點(diǎn)作PF∥BD交CD于E點(diǎn)，
∵AC∥BD，
∴PE∥AC，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠PCA-∠PDB；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角．解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．