Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，A、C分別在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，N，若M是AB的中點(diǎn)，△OMN的面積為3．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)M在直線y=-$\frac{1}{2}$x+3上，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（$\frac{1}{2}$a，b），由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到N（a，$\frac{1}{2}$b）．根據(jù)△OMN的面積為3，列出方程ab-$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$b=3，求得ab=8，那么k=$\frac{1}{2}$ab=4，進(jìn)而得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）將點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$a，b）代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，得到b=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a+3，即a=12-4b，代入ab=8，得出（12-4b）b=8，解方程求出b的值，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴M（$\frac{1}{2}$a，b），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，N，
∴N（a，$\frac{1}{2}$b）．
∵△OMN的面積為3，
∴ab-$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$b=3，
∴ab=8，
∴k=$\frac{1}{2}$ab=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$a，b）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴b=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a+3，即a=12-4b，
又∵ab=8，
∴（12-4b）b=8，
解得b=1或2，
當(dāng)b=1時(shí)，a=8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，1）；
當(dāng)b=2時(shí)，a=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．
綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，1）或（4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，難度中等．