Question

11．如圖，以△ABC的三邊AB、BC、CA分別為邊，在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，BCE，CAF，求證：四邊形ADEF是平行四邊形．

Answer 1

分析 由△ABD，△EBC都是等邊三角形，易證得△DBE≌△ABC（SAS），則可得DE=AC，又由△ACF是等邊三角形，即可得DE=AF，同理可證得AD=EF，即可判定四邊形ADEF是平行四邊形．

解答 證明：∵△ABD，△EBC都是等邊三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC（SAS）．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可證：AD=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

點(diǎn)評 此題考查了平行四邊形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△DBE≌△ABC≌△FEC是關(guān)鍵．