Question

18．某企業(yè)接到一批月餅生產(chǎn)任務(wù)，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批月餅的出廠價(jià)為每塊6元，為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人．設(shè)新工人王紅第x天生產(chǎn)的月餅數(shù)量為y塊，y與x滿(mǎn)足下列關(guān)系式：y=$\left\{\begin{array}{l}{54x（0≤x≤5）}\\{30x+120（5≤x≤15）}\end{array}\right.$．
（1）如圖，設(shè)第x天每塊月餅的成本是P元，P與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來(lái)刻畫(huà)，若王紅第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為W元，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）王紅第幾天會(huì)獲得756元的利潤(rùn)且保證成本較低？

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求得0≤x＜9和9≤x≤15時(shí)每塊月餅的成本是P與x的函數(shù)解析式，再分0≤x≤5、5＜x≤9、9＜x≤15三種情況根據(jù)總利潤(rùn)=每塊月餅的利潤(rùn)×銷(xiāo)售量可得答案；
（2）在0≤x≤5和5＜x≤9時(shí)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值均小于756，繼而可求得9＜x≤15時(shí)利潤(rùn)為756元的x的值，再結(jié)合成本較低確定x的值，代入P=30x+120可得答案．

解答 解：（1）由圖象得，當(dāng)0≤x＜9時(shí)，p=4.1；
當(dāng)9≤x≤15時(shí)，設(shè)P=kx+b，
把點(diǎn)（9，4.1），（15，4.7）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，
∴P=0.1x+3.2，
①0≤x≤5時(shí)，w=（6-4.1）×54x=102.6x；
②5＜x≤9時(shí)，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，
③9＜x≤15時(shí)，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x²+72x+336；

（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，w=102.6x中，當(dāng)x=5時(shí)，w_最大=513＜756；
當(dāng)5＜x≤9時(shí)，w=57x+228，
∵x是整數(shù)，
∴當(dāng)x=9時(shí)，w_最大=741＜756；
當(dāng)9＜x≤15時(shí)，由-3x²+72x+336=756解得x₁=10，x₂=14，
當(dāng)x=10時(shí)，P=30x+120=420，
當(dāng)x=14時(shí)，P=30x+120=540，
∴第10天會(huì)獲得756元的利潤(rùn)且保證成本較低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問(wèn)題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．