Question

8．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為矩形；
（2）過點O作OF⊥BC，垂足為F，若AC=16，BD=12，則OF=4.8．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形OCED是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出對角線互相垂直，得出∠COD=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)求出OC=$\frac{1}{2}$AC=8，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，由勾股定理求出BC，再由△BOC面積的計算方法求出OF即可．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四邊形OCED為矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=$\frac{1}{2}$AC=8，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵△BOC的面積=$\frac{1}{2}$BC•OF=$\frac{1}{2}$OB•OC，
∴OF=$\frac{OB•OC}{BC}=\frac{6×8}{10}$=4.8．
故答案為：4.8．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算方法；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三角形的面積求出OF是解決問題的關(guān)鍵．