Question

2．閱讀下面材料：某同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，過點(diǎn)B作BE⊥AD交AD延長線于點(diǎn)E，當(dāng)BC=2AE時，圖1中是否存在與AD相等的線段？若存在，請找出并說明理由，若不存在，說明理由．該同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作BC的垂線AF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將問題解決．

請回答：
（1）該同學(xué)發(fā)現(xiàn)的與AD相等的線段是BD；
（2）證明該同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
參考該同學(xué)思考問題的方法，解決下面的問題：
（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，且AE=AD，∠DAE=45°，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，G在AB上，連接EF、DG．∠EFC+∠AGD=90°，求$\frac{AG}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接得出結(jié)論，
（2）先判斷出BF=AF進(jìn)而得出Rt△ABF≌Rt△BAE，得出∠BAE=∠ABF，即BD=AD；
（3）先判斷出，∠AFE=∠AGD進(jìn)而得出∠GAD=∠FAE，即可△AGD≌△AFE（AAS），得出AG=AF，最后代換即可．

解答 解：（1）故答案為BD，
（2）∵△ABC是等腰三角形，AF⊥BC，
∴BC=2BF，
∵BC=2AE，
∴BF=AE，
在Rt△ABF和Rt△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△BAE（HL），
∴∠BAE=∠ABF，
∴BD=AD，
（3）$\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}$，
理由：如圖3，連接AF，

∴AF⊥BC，
∴∠EFC+∠AFE=90°，
∵∠EFC+∠AGD=90°，
∴∠AFE=∠AGD，
∵AF⊥BC，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，
即：∠GAD=∠FAE，
在△AGD和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠AGD}\\{∠GAD=∠FAE}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△AFE（AAS），
∴AG=AF，
∵AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，同角的余角相等，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是∠GAD=∠FAE，是一道比較簡單的中考常考題．