Question

16．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)（不含點(diǎn)A），沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)（不含點(diǎn)B），沿B→C→D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q恰好到達(dá)點(diǎn)C，已知點(diǎn)P每秒比點(diǎn)Q每秒多運(yùn)動(dòng)1cm，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D（不含點(diǎn)D）時(shí)，另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求P、Q兩點(diǎn)的速度；
（2）當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)距離D點(diǎn)1cm（直接寫(xiě)答案）；
（3）設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（x），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示△APQ的面積為S（cm³），并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出P、Q兩點(diǎn)的速度之比，列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意分別求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所需的時(shí)間，計(jì)算即可；
（3）分0≤t≤2、2＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t≤5三個(gè)范圍，根據(jù)三角形的面積公式解答即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q恰好到達(dá)點(diǎn)C，
∴P、Q兩點(diǎn)的速度之比為：6：4=3：2，
設(shè)點(diǎn)P的速度是3xcm/s，則點(diǎn)Q的速度是2xcm/s，
由題意得，3x-2x=1，
解得，x=1，
∴點(diǎn)P的速度是3cm/s，則點(diǎn)Q的速度是2cm/s；
（2）點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D所需的時(shí)間為：（6+4+6）÷3=$\frac{16}{3}$s，
點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所需的時(shí)間為：（6+4）÷2=5s，
∴點(diǎn)Q先到達(dá)點(diǎn)D，
則點(diǎn)P距離D點(diǎn)16-3×5=1cm，
故答案為：1；
（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，AP=3t，BQ=2t，
∴△APQ的面積為S=$\frac{1}{2}$×AP×BQ=3t²，
當(dāng)2＜t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，BP=3t-6，CP=10-3t，CQ=2t-4，QD=10-2t，
∴△APQ的面積為S=6×4-$\frac{1}{2}$×6×（3t-6）-$\frac{1}{2}$×4×（10-2t）-$\frac{1}{2}$×（10-3t）×（2t-4）=3t²-21t+42，
當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t≤5時(shí)，PQ=6-（3t-10）-[6-（2t-4）]=6-t，
∴△APQ的面積為S=$\frac{1}{2}$×PQ×AD=12-2t．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．