Question

8．如圖①，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，C為直線AB上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，且S_△COA=8，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過C．
（1）求k的值；
（2）Q為雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OQ，過C作CM⊥OQ，CN⊥y軸于N，聯(lián)結(jié)MN，如圖②，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{MC+MO}{MN}$的值是否有變化？若不變，求其值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由三角形COA的面積求出點(diǎn)C縱坐標(biāo)，代入直線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$，即可確定k的值；
（2）作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x軸于G；則四邊形CGON是正方形，證明C、M、O、N四點(diǎn)共圓，證出MF=NF，再證明四邊形EMFN是正方形，得出ME=MF，MN=$\sqrt{2}$MF，由Rt△CNE≌Rt△ONF，得出CE=OF，MC+MO=2MF，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）對于直線y=-$\frac{1}{2}$x+2，當(dāng)y=0時(shí)，x=4；當(dāng)x=0時(shí)，y=2；
∴A（4，0），B（0，2），
設(shè)C（a，b），
∵S_△COA=$\frac{1}{2}$×4×b=8，
∴b=4，
把C（a，4）代入y=-$\frac{1}{2}$x+2得：a=-4，
∴C（-4，4），
把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：
k=-16，；
（2）$\frac{MC+MO}{MN}$=$\sqrt{2}$，沒有變化；理由如下：
如圖所示：作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x軸于G；
則四邊形CGON是正方形，∠CMF=∠MFN=∠NEM=90°，
∴四邊形EMFN是矩形，CG=OG=ON=CN=4，∠OCN=∠CON=45°，
∵CM⊥OQ，CN⊥y軸，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∴C、M、O、N四點(diǎn)共圓，
∴∠OMN=∠OCN=45°，∠CMN=∠NOC=45°，
∴MF=NF，
∴四邊形EMFN是正方形，
∴ME=MF=FN=EN，MN=$\sqrt{2}$MF，
在Rt△CNE和Rt△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=ON}\\{EN=FN}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNE≌Rt△ONF（HL），
∴CE=OF，
∴MC+MO=MC+MF+OF=2MF，
∴$\frac{MC+MO}{MN}$=$\frac{2MF}{\sqrt{2}MF}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了圖形與坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)解析式的求法、正方形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓以及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明正方形和三角形全等才能得出結(jié)果．