Question

8．如圖，有一張邊長(zhǎng)為6的正方形紙片ABCD，P是AD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），將正方形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于H，連接BP．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）若P為AD中點(diǎn)，求四邊形EFGP的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）欲證明∠APB=∠BPH，只要證明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根據(jù)EP=EB，推出∠EBP=∠EPB即可證明．
（2）如圖1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想辦法求出EB、CF即可解決問(wèn)題．
（3）△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?2．如圖2中，作BQ⊥PG于Q，連接BH，分別證明△BPA≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．

解答 （1）證明：∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB，
∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，
∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，
∴∠APB=∠BPH．

（2）解：如圖1中，作FM⊥AB于M．

∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，
∴∠ABP=∠EFM，
在△ABP和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A∠FME}\\{AB=MF}\\{∠ABP=∠EFM}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△MFE，
∴ME=AP=$\frac{1}{2}$AD=3，
在Rt△AEP中，設(shè)AE=x，則EP=BE=6-x，
∴（6-x）²=x²+3²，
∴x=$\frac{9}{4}$，
∴CF=BM-AB-AE-EM=$\frac{3}{4}$，
∴S_{四邊形EFGP}=$\frac{1}{2}$×（CF+BE）×BC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$+$\frac{15}{4}$）×6=$\frac{27}{2}$．

（3）解：△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?2．
證明：如圖2中，作BQ⊥PG于Q，連接BH．

由（1）可知∠APB=∠BPQ，
在△BPA和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQP=90°}\\{∠APB=∠BPQ}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BPQ，
∴AP=PQ，AB=BQ，
∵AB=BC，
∴BC=BQ，
∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，
∴△BHQ≌△BHC，
∴CH=QH，
∴△PDH的周長(zhǎng)=DP+PH+DH=（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．