Question

13．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，連接CG，則tan∠DGC=2．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠B=∠BAD=90°，再求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠BFA，再求出∠AGE=90°，從而得到AF⊥DE，取AD的中點(diǎn)H，連接CH，再判斷出CH垂直平分DG，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CD=CG，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CGD=∠CDG，再求出∠CGD=∠AED，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，求出AE，根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊和鄰邊的比即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分別為AB、BC邊的中點(diǎn)，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠BAD}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中點(diǎn)H，連接CH，
∵H是AD的中點(diǎn)，∴CH∥AF，
設(shè)CH與DG相交于點(diǎn)M，則MH是三角形ADG的中位線，
∴DM=GM，
∴CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則AE=a，
∴tan∠DGC=∠AED=$\frac{2a}{a}$=2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)；熟記性質(zhì)并作輔助線把∠DGC轉(zhuǎn)化為∠AED是解題的關(guān)鍵．