Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$交Rt△COD軸于點A，交y軸于點B，將△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，拋物線經(jīng)過點A、C、D．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）已知在拋物線與線段AD所圍成的封閉圖形（不含邊界）中，存在點$\frac{1}{2}$，使得△PCD是等腰三角形，求$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=2x+2交x軸于點A，交y軸于點B，分別令x=0，求出y的值，令y=0，求出x值，于是A、B兩點的坐標(biāo)可求出；
（2）設(shè)拋物線x的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），由旋轉(zhuǎn)可知：OC=OA=1，OD=OB=2，把A（-1，0），C（0，1），D（2，0）代入解析式，求出a、b、c的值，拋物線的解析式即可求出；
（3）首先根據(jù)勾股定理求出CD的長度，若△PCD是等腰三角形，則有以下三種情況：①當(dāng)CP=CD時，②當(dāng)DP=DC時，③當(dāng)PC=PD時，分別求出a的取值范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=2；
當(dāng)y=0時，由2x+2=0得x=-1．
∴A（-1，0），B（0，2）；

（2）由旋轉(zhuǎn)可知：OC=OA=1，OD=OB=2，
∴C（0，1），D（2，0）．
設(shè)拋物線x的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=1\\ 4a+2b+c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=1\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1；

（3）在Rt△COD中，由C（0，1），D（2，0）可得CD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
若△PCD是等腰三角形，則有以下三種情況：
①當(dāng)CP=CD時，此時點P在拋物線l與線段AD所圍成的封閉圖形外，不合題意；
②當(dāng)DP=DC時，以點D為圓心，DC長為半徑畫弧交x軸于點H，此時點P在$\widehat{CH}$上（不含點C、H），
此時a的取值范圍是-$\sqrt{5}$+2＜a＜0；          
③當(dāng)PC=PD時，作線段CD的垂直平分線FG，交CD于點E，交x軸于點F，交拋物線于點G．
此時點P在線段FG上（不含點F、G、E），
求得 E（1，$\frac{1}{2}$），DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
在Rt△DEF，Rt△DOC中，cos∠CDO=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DO}{DC}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{DF}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得DF=$\frac{5}{4}$，
∴OF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，即F（$\frac{3}{4}$，0）．
易得過E、F的直線解析式是y=2x-$\frac{3}{2}$，聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}y=2x-\frac{3}{2}\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+1\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$（舍去），
∴點G的橫坐標(biāo)是$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，
此時a的取值范圍是$\frac{3}{4}$＜a＜$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，且a≠1．
綜合①②③，當(dāng)△PCD是等腰三角形時，a的取值范圍是-$\sqrt{5}$+2＜a＜0或$\frac{3}{4}$＜a＜$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，且a≠1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，此題設(shè)計直線與拋物線的交點問題，解答（3）問時需要進(jìn)行分類討論，此問同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)討論不全的情況，此題難度較大