Question

5．如圖，A（4，0），B（0，4）兩點(diǎn)，P在BA延長(zhǎng)線上，△OPE為等腰直角三角形，F(xiàn)為PE的中點(diǎn)，OF交AB于M．
（1）若P（5，-1），求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)PA、PM、BM三者之間存在怎樣關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠POC=∠EOH，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EH、OH的長(zhǎng)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)公式，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得OF的解析式，AB的解析式，根據(jù)解方程組，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得PA、PM、BM，分類討論：當(dāng)a＞4時(shí)，當(dāng)$\frac{12}{5}$＜a＜4時(shí)，當(dāng)a＜$\frac{12}{5}$時(shí)，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．

解答 解：（1）作PC⊥x于C，作EH⊥y于H，
由△OPE為等腰直角三角形，得
∠POE=90°，OP=OE．
由∠POC+∠COE=90°，∠EOH+∠COE=90°，得
∠POC=∠EOH．
在△POC和△EOH中$\left\{\begin{array}{l}{POC=∠EOH}\\{∠PCO=∠EHO}\\{OP=OE}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△EOH  （AAS），
∴EH=PC=1，OH=OC=5，
E點(diǎn)坐標(biāo)（1，5）；

（2）3|PM-PA|=2BM，理由如下：
由P（5，-1），E（1，5），F(xiàn)為PE的中點(diǎn)，得
F（3，2）．
設(shè)OF的解析式為y=kx，將F點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得
k=$\frac{2}{3}$．
OF的解析式為y=$\frac{2}{3}$x，
AB的解析式為y=kx+b，
將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
AB的解析式為y=-x+4，設(shè)P（a，4-a）
聯(lián)立AB與OF的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
M（$\frac{12}{5}$，$\frac{8}{5}$），
PA=$\sqrt{（a-4）^{2}+（4-a）^{2}}$=|a-4|$\sqrt{2}$，
PM=$\sqrt{（a-\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}-a）^{2}}$=|a-$\frac{12}{5}$|$\sqrt{2}$，
BM=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}-4）^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{2}$
當(dāng)a＞4時(shí)，3（PM-PA）=2BM，
當(dāng)$\frac{12}{5}$＜a＜4時(shí)，3（PM-PA）=2BM
當(dāng)a＜$\frac{12}{5}$時(shí)，3（PA-PM）=2BM，
綜上所述：3|PM-PA|=2BM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）做出輔助線得出全等三角形是解題關(guān)鍵；（2）利用線段中點(diǎn)公式得出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再利用勾股定理得出PA、PM、BM，要分類討論，以防遺漏．