Question

18．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則∠APB=150°，△ABC的面積=36+25$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接PP'，易證△APP′為等邊三角形，同時△PP'B是直角三角形；過點A作AD垂直BP于點D，算出AD、PD，再用勾股定理算出AB，然后用公式直接求出面積．

解答 解：連接PP′，過點A作AD⊥BP于點D，如圖，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，△APC≌△AP'B，
∴AP=AP'，P'B=PC=10，
∵∠P'AP=60°，
∴△APP'是等邊三角形，
∴PP'=AP=6，
∵PB=8，
∴P'B²=PB²+P'P²，
∴△PP'B是直角三角形，
∴∠P'PB=90°，
∵∠P'PA=60°，
∴∠APB=150°，
∴∠APD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}AP$=3，PD=$3\sqrt{3}$，
∴BD=8+3$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=100+48$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$=36+25$\sqrt{3}$．
故答案為：150°；36+25$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函數(shù)、解直角三角形、等邊三角形判定與性質(zhì)、等邊三角形的面積公式等知識點，難度較大．通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APP′為等邊三角形以及△PP'B是直角三角形是解答本題的第一個關(guān)鍵；在得出∠APB為150°之后，“將特殊角或其補(bǔ)角放入直角三角形當(dāng)中”是解答本題的第二個關(guān)鍵．