Question

9．如圖，已知拋物線 y=-x²+mx+4m 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△ABE的面積為15？若存在，請求出所有符合條件E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連結(jié)BD，動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)B、D），連結(jié)CP，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，設(shè)OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S．試探究：四邊形PCOH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個(gè)最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可求出拋物線的解析式，然后用配方法就可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）可先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AB的值，根據(jù)△ABE的面積可求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）可先求出DB的解析式，從而得到PH（用t的代數(shù)式表示），然后用t的代數(shù)式表示出梯形PCOH的面積，再運(yùn)用配方法就可解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=-x²+mx+4m 上，
∴4m=8，
∴m=2，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8．
∵y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，9）；

（2）令y=0，則-x²+2x+8=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=4，AB=6．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$×AB×|y_E|=3|y_E|=15，
∴y_E=±5．
當(dāng)y_E=5時(shí)，-x²+2x+8=5，
解得：x₃=3，x₄=-1．
當(dāng)y_E=-5時(shí)，-x²+2x+8=-5，
解得：x₅=1+$\sqrt{14}$，x₆=1-$\sqrt{14}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，5），（-1，5），（1+$\sqrt{14}$，-5），（1-$\sqrt{14}$，-5）；

（3）設(shè)DB的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=9}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴DB的解析式為y=-3x+12．
∵OH=t，
∴P（t，-3t+12），PH=-3t+12，
∴S=$\frac{1}{2}$（8-3t+12）t=-$\frac{3}{2}$t²+10t=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{50}{3}$．
∵1＜t＜4，
∴當(dāng)t=$\frac{10}{3}$時(shí)，S最大=$\frac{50}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、解一元二次方程等知識，運(yùn)用配方法是解決本題的關(guān)鍵，需要注意的是點(diǎn)E到x軸的距離為|y_E|，而不是y_E．