Question

6．如圖，已知拋物線y=x²+bx-3a過點(diǎn)A（1，0），B（0，-3），與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象，寫出y＞0時(shí)，x的取值范圍；
（4）求△ABC面積；
（5）⊙P的半徑為2，圓心P在此拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出；
（2）將拋物線解析式配成頂點(diǎn)式即可知道頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，配成交點(diǎn)式即可知道C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）y＞0表示拋物線的圖象高于x軸的部分，由圖象可直接寫出對(duì)應(yīng)的x的取值范；
（4）求出AC、OB即可；
（5）圓與y軸相切，說明圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，圓心到y(tǒng)軸的距離就是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值；

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx-3a過點(diǎn)A（1，0），B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b-3a=0}\\{-3a=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；
（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4=（x+3）（x-1），
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），對(duì)稱軸為x=-1，C（-3，0）；
（3）由圖象可知：y＞0時(shí)，x＜-3或x＞1；
（4）∵A（1，0），C（-3，0），
∴AC=4，
∵OB=3，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3$=6；
（5）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則|x|=2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3，
∴P（-2，-3）；
當(dāng)x=2時(shí)，y=5，
∴P（2，5）；
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)可以為：（-2，-3）、（2，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的交點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、三角形面積求法、圓與直線相切的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．縱觀本題五個(gè)小問，全部著重考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，這就要求同學(xué)們對(duì)每一個(gè)概念、定理、公式、基本結(jié)論都要理解透徹，掌握牢固．