Question

8．如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=7，BC=10，CD=6，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為一邊在BC上方作等邊△BEF，聯(lián)結(jié)AF．
（1）當(dāng)BF⊥AF時(shí)，求線段BE的長；
（2）延長AF交邊BC于點(diǎn)G，設(shè)BE=x，EG=y，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）若⊙F是以點(diǎn)F為圓心，且同時(shí)與梯形的兩條鄰邊所在的直線相切的圓，當(dāng)這樣的⊙F存在時(shí)，直接寫出BE的長．

Answer 1

分析 （1）先求出CH，進(jìn)而用勾股定理得出DH即可得出AB，即可得出結(jié)論，
（2）先由等邊三角形的性質(zhì)得出FM，BM，BG，最后用相似三角形的性質(zhì)建立方程即可得出函數(shù)關(guān)系式，用x+y≤10確定出自變量的范圍；
（3）分兩種情況用切線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可求出BE．

解答 解（1）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥BC，
∴∠DHB=∠DHC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴BH=AD=7，DH=AB，
∴CH=BC-BH=10-7=3
∵在Rt△CDH中，CH=3，CD=6，
∴DH=3$\sqrt{3}$，
∴AB=DH=3$\sqrt{3}$，
∵△BEF是等邊三角形，
∴∠EBF=60°，
∴∠ABF=30°，
∵BF⊥AF，
∴∠AFB=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{3}$AF=$\frac{9}{2}$，
（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥BC，
∵△BEF是等邊三角形，
∴BM=EM=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$x，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵EG=y，
∴GM=$\frac{1}{2}$x+y，GB=x+y
∵FM⊥BC，AB⊥BC，
∴FM∥AB，
∴△GMF∽△GBA，
∴$\frac{GM}{GB}=\frac{FM}{AB}$，∴$\frac{\frac{1}{2}x+y}{x+y}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{3\sqrt{3}}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}-3x}{6-x}$，
∵AF交邊BC于點(diǎn)G，
∴x+y≤10，
∴x+$\frac{{x}^{2}-3x}{6-x}$≤10，
∴x≤$\frac{60}{13}$，∴0＜x≤$\frac{60}{13}$，
即：y=$\frac{{x}^{2}-3x}{6-x}$（0＜x≤$\frac{60}{13}$）；
（3）由（2）知，BM=x，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴BM≠FM，
∴⊙F不可能和AB與BC同時(shí)相切，
①如圖3，當(dāng)⊙F與AB和AD同時(shí)相切時(shí)，∴FP=FQ，F(xiàn)P⊥AB，F(xiàn)Q⊥AD，
由（2）知，F(xiàn)P=BM=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∵QM=AB=3$\sqrt{3}$，
∴FQ=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴$\frac{1}{2}$BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴BE=9-3$\sqrt{3}$，
②如圖4，
當(dāng)⊙F與AB和CD同時(shí)相切時(shí)，
∴FP=FQ，∠FQC=90°，
在圖1中，在Rt△CHD中，CD=6，CH=3，
∴∠CDH=30°，
∴∠C=60°，
∵∠BEF=60°，
∴EF∥CD，延長PF交CD于N，
∴FN∥BC，
∴四邊形CDFE是平行四邊形，
∴FN=EC=10-BE，∠FDQ=60°，
在Rt△DQF中，sin∠FDQ=sin60°=$\frac{FQ}{FN}$，
∵FQ=FP=$\frac{1}{2}$BE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}BE}{10-BE}$，
∴BE=15-5$\sqrt{3}$．
即：⊙F與梯形兩邊同時(shí)相切時(shí)，BE為9-3$\sqrt{3}$或15-5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了矩形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出線段的長，是一道中等難度的好題．