Question

12．如圖1，邊長為a的正方形發(fā)生形變后成為邊長為a的菱形，如果這個(gè)菱形的一組對邊之間的距離為h，記$\frac{a}{h}$=k，我們把k叫做這個(gè)菱形的“形變度”．
（1）直接寫出邊長為a的正方形的周長：4a；
（2）若變形后的菱形A′B′C′D′中a=4，∠B′=60°，求k的值；
（3）如圖2，正方形ABCD由16個(gè)邊長為1的小正方形組成，形變后成為菱形E′F′G′H′，△EMN（M、N是小正方形的頂點(diǎn)），同時(shí)形變?yōu)椤鱁′M′N′，設(shè)△E′M′N′的面積S．
①求S與k之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)S=3時(shí)，求E′G′+F′H′的值．

Answer 1

分析 （1）這個(gè)正方形周長的定義即可解決問題．
（2）根據(jù)sin60°=$\frac{h}{a}$，求出h，再根據(jù)k=$\frac{a}{h}$即可解決．
（3）①根據(jù)$\frac{{S}_{△EMN}}{{S}_{△E′M′N′}}$=k，即可角問題．②如圖作E′M⊥F′G′于M，H′N⊥F′G′于N，根據(jù)題意E′M=H′N=3，再在Rt△E′MG′，Rt△F′H′N中，利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：（1）邊長為a是正方形周長為4a．
故答案為4a．

（2）由題意sin60°=$\frac{h}{a}$，∵a=4，
∴h=2$\sqrt{3}$，
∴k=$\frac{a}{h}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

（3）①形變前△EMN的面積=12-3-1-4=4，
∵$\frac{{S}_{△EMN}}{{S}_{△E′M′N′}}$=k，
∴$\frac{4}{s}=k$
∴s=$\frac{4}{k}$．
②如圖作E′M⊥F′G′于M，H′N⊥F′G′于N．
∵s=3，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴h=3，
∴E′M=H′N=3，
∴MF′=NG′=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴在Rt△E′MG′中，E′G′=$\sqrt{E′{M}^{2}+G′{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{7}+4）^{2}}$=2$\sqrt{7}$+2．
在Rt△F′H′N中，F(xiàn)′H′=$\sqrt{F′{N}^{2}+H′{N}^{2}}$=$\sqrt{（4-\sqrt{7}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{7}$-2，
∴E′G′+F′H′=4$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、三角函數(shù)，勾股定理/正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中考創(chuàng)新題目．