Question

18．如圖，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P，D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E；
（1）理清思路，完成解答：求證：△BPO≌△PDE；
（2）特殊位置，證明結(jié)論：若PB平分∠ABO，其余條件不變，求證：AP=CD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得到∠2=∠1+∠3=∠4+∠C，可得到∠3=∠4，可證明△BPO≌△PDE；
（2）由角平分線的定義結(jié)合（1）可證得∠ABP=∠4，結(jié)合條件可證明△ABP≌△CPD，可證得AP=CD．

解答 證明：
（1）∵PB=PD，
∴∠2=∠1+∠3，且∠2=∠C+∠4，
∵AB=AC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠1=∠C=45°，
∴∠3=∠4，
在△BPO和△PDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠POB=∠PED=90°}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）∵PB平分∠ABO，
∴∠3=∠ABP，
由（1）可知∠3=∠4，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CP}\\{∠ABP=∠4}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CPD（ASA），
∴AP=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中注意等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，在（2）中注意角平分線的應(yīng)用．