Question

4．如圖，直線y=4x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交與點(diǎn)A（1，a），B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，直線OB與x軸的夾角為α，且tanα=$\frac{1}{4}$．
（1）求k的值．
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)在y軸上，若△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，5）或（0，-5）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=4x經(jīng)過點(diǎn)A（1，a），可得a的值，再將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得到k的值；
（2）過點(diǎn)B作BE垂直于x軸于點(diǎn)E，設(shè)BE長為m，得出點(diǎn)B坐標(biāo)為（-m，-4m），把點(diǎn)B代入$y=\frac{4}{x}$中，即可得到m的值；
（3）分兩種情況：點(diǎn)P在y軸正半軸和負(fù)半軸上，分別根據(jù)AB⊥BP或AB⊥AP'，以及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入y=4x中，得a=4，
所以A（1，4），
把點(diǎn)A（1，4）代入$y=\frac{k}{x}$中，得k=4；

（2）過點(diǎn)B作BE垂直于x軸于點(diǎn)E，如圖示，

設(shè)BE長為m，在Rt△OBE中，
∵$tanα=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{1}{4}$，即 OE=4BE=4m，
∴所以點(diǎn)B坐標(biāo)為（-m，-4m），
把點(diǎn)B代入$y=\frac{4}{x}$中，
得：4m²=4，
解得m₁=1，m₂=-1（舍去）
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，-1）；

（3）如圖所示，過A作AP'⊥AB，交y軸于P'，過B作BP⊥AB，交y軸于P，
根據(jù)A（1，4），B（-4，-1），可得直線AB的解析式為y=x+3；
根據(jù)直角坐標(biāo)系中互相垂直的兩直線的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)，
可設(shè)直線BP為y=-x+m，
把B（-4，-1）代入可得，m=-5；
設(shè)直線AP'的解析式為y=-x+n，
把A（1，4）代入，可得n=5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（0，5），（0，-5）．
故答案為：（0，5）或（0，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題以及解直角三角形的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．解題時(shí)注意：直角坐標(biāo)系中互相垂直的兩直線的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)．