Question

10．某工廠在生產(chǎn)過程中每消耗1萬度電可以產(chǎn)生產(chǎn)值5.5萬元，電力公司規(guī)定，該工廠每月用電量不得超過16萬度，月用電量不超過4萬度時，單價是1萬元/萬度；超過4萬度時，超過部分電量單價將按用電量進行調(diào)查，電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系可用如圖來表示．（效益=產(chǎn)值-用電量×電價）
（1）設(shè)工廠的月效益為z（萬元），寫出z與月用電量x（萬度）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）求工廠最大月效益．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系是分段函數(shù)，當0≤x≤4時，y=1，當4＜x≤16時，函數(shù)過點（4，1）和（8，1.5）的一次函數(shù)，求出解析式；再根據(jù)效益=產(chǎn)值-用電量×電價，求出z與月用電量x（萬度）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中得到函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系是分段函數(shù)，
當0≤x≤4時，y=1，
當4＜x≤16時，函數(shù)過點（4，1）和（8，1.5）的一次函數(shù)，
設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{8k+b=1.5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}$，
∴電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系為：y=$\left\{\begin{array}{l}{1（0≤x≤4）}\\{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}（4＜x≤16）}\end{array}\right.$
∴z與月用電量x（萬度）之間的函數(shù)關(guān)系式為：z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11}{2}x-x×1（0≤x≤4）}\\{\frac{11}{2}x-4×1-（x-4）（\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}）（4＜x≤16}\end{array}\right.$
即z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}x（0≤x≤4）}\\{-\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{11}{2}x-2（4＜x≤16）}\end{array}\right.$

（2）當0≤x≤4時，z=$\frac{9}{2}x$
∵$\frac{9}{2}＞0$，
∴z隨x的增大而增大，
∴當x=4時，z有最大值，最大值為：$\frac{9}{2}×4$=18（萬元）；
當4＜x≤16時，z=-$\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{11}{2}x-2$=-$\frac{1}{8}（x-22）^{2}+\frac{117}{2}$，
∵-$\frac{1}{8}＜0$，
∴當x≤22時，z隨x增大而增大，
16＜22，則當x=16時，z最大值為54，
故當0≤x≤16時，z最大值為54，即工廠最大月效益為54萬元．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是圖中的函數(shù)為分段函數(shù)，分別求出個函數(shù)的解析式，注意自變量的取值范圍．對于最值問題，借助于一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答．