Question

18．如圖，直線y=2x+n與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m≠0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．
（1）求m，n的值；
（2）過(guò)x軸上一點(diǎn)M作平行與y軸的直線l，分別與直線y=2x+n和雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m≠0）交于點(diǎn)P，Q，若PQ=2QM，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線和雙曲線的解析式，即可求出答案；
（2）先根據(jù)m、n的值得出直線與反比例函數(shù)的解析式，設(shè)M（x，0），則Q（x，$\frac{4}{x}$），P（x，2x+2），用x表示出PQ與QM的長(zhǎng)，再由PQ=2QM求出x的值即可．

解答 解：（1）把A（1，4）代入直線y=2x+n得：4=2+n，
解得：n=2；
把A（1，4）代入雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m≠0）得：4=$\frac{4}{1}$，
解得：m=4，
即m=4，n=2；

（2）∵m=4，n=2，
∴直線y=2x+n的解析式為：y=2x+2，雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的解析式為y=$\frac{4}{x}$．
設(shè)M（x，0），則Q（x，$\frac{4}{x}$），P（x，2x+2），
∴PQ=|2x+2-$\frac{4}{x}$|，QM=|$\frac{4}{x}$|，
∴|2x+2-$\frac{4}{x}$|=2|$\frac{4}{x}$|，
當(dāng)x＞0時(shí)，2x+2-$\frac{4}{x}$＞0，$\frac{4}{x}$＞0，則2x+2-$\frac{4}{x}$=2×$\frac{4}{x}$，解得x=1或x=-3（舍去）；
當(dāng)x＜0時(shí)，2x+2-$\frac{4}{x}$＜0，$\frac{4}{x}$＜0，則-（2x+2-$\frac{4}{x}$）=2×（-$\frac{4}{x}$），解得x=1（舍去）或x=-3．
∴M（1，0）或（-3，0）．
綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）或（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，先根據(jù)題意得出m、n的值是解答此題的關(guān)鍵．