Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，O是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線OD交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求證：OE=OB．
（2）若AO=4，求CE的長(zhǎng)．
（3）設(shè)線段BE的中點(diǎn)為Q，射線OQ與⊙O相交于點(diǎn)P．
①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若△OBP的面積為7.2，求⊙O的半徑．
②點(diǎn)O在運(yùn)動(dòng)的過程中，能否使點(diǎn)D，C，P，O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若能，請(qǐng)求出AO的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的想知道的∠A=∠ODA，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到$\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{ED}$．根據(jù)勾股定理得到AB=10．于是得到結(jié)論；
（3）①如圖1，設(shè)BE的中點(diǎn)為Q，連結(jié)OQ，AO=x，列方程即可得到結(jié)論；②（�。┤绻�點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），由（2）知根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程得到CD=$\frac{4}{5}$（10-2x），當(dāng)DC=OP時(shí)，點(diǎn)D，C，P，O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，由DC=OP，列方程即可得到結(jié)論；（ⅱ）如果點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)（如圖3），DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），當(dāng)DC=OP時(shí)，（ⅲ）如果點(diǎn)O在線段AB的延長(zhǎng)線上（如圖4），點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），當(dāng)DC=OP時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠EDC=∠ODA，
∴∠A=∠EDC，
∵AC⊥BC，
∴∠OBE+∠A=∠OEB+∠EDC，
∴∠OBE=∠OEB，
∴OE=OB；

（2）∵∠A=∠EDC，
在Rt△ABC和Rt△DEC，sin∠A=$\frac{BC}{AB}$，sin∠EDC=$\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{ED}$．
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵AO=4，
∴OB=OE=6，DE=2．
∴$\frac{6}{10}$=$\frac{CE}{2}$，CE=$\frac{6}{5}$，

（3）①如圖1，設(shè)BE的中點(diǎn)為Q，連結(jié)OQ，AO=x，
∵OB=OE，
∴OQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，
∴OQ∥AC，
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{10-x}{10}=\frac{BQ}{6}$，
∴BQ=6-$\frac{3}{5}$x，
當(dāng)△OBP的面積為7.2時(shí)，$\frac{1}{2}$x（6-$\frac{3}{5}$x）=7.2，
解得x₁=4，x₂=6，即⊙O的半徑為4或6，
②（ⅰ）如果點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），由（2）知，∠A=∠EDC，
在Rt△ABC和Rt△DEC，cos∠A=$\frac{AC}{AB}$，cos∠EDC=$\frac{CD}{EC}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DE}$，
∴$\frac{8}{10}$=$\frac{CD}{10-2x}$，CD=$\frac{4}{5}$（10-2x），
當(dāng)DC=OP時(shí)，點(diǎn)D，C，P，O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
由DC=OP得，$\frac{4}{5}$（10-2x）=x，
∴x=$\frac{40}{13}$；
（ⅱ）如果點(diǎn)O在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)（如圖3），DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），
當(dāng)DC=OP時(shí)，點(diǎn)D，C，P，O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
由DC=OP得，$\frac{4}{5}$（2x-10）=x，x=$\frac{40}{3}$，
∵$\frac{40}{3}$＞10，與點(diǎn)O在線段AB上矛盾，
∴x=$\frac{40}{3}$舍去；
（ⅲ）如果點(diǎn)O在線段AB的延長(zhǎng)線上（如圖4），點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），當(dāng)DC=OP時(shí)，點(diǎn)D，C，P，O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
由DC=OP得，$\frac{4}{5}$（2x-10）=x，
∴x=$\frac{40}{3}$．
綜上所述，AO=$\frac{40}{13}$或AO=$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，難度適中．