Question

11．在等邊△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120?，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)E．射線DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若DF⊥AC，請(qǐng)直接寫出DE與AB的位置關(guān)系；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：DE=DF；
（3）在∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系．
（4）當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時(shí)，DF與線段AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，若DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN=FN，AB=10，直接寫出BE+CF的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）連接AD，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，由點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，得到AD是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖2（a）中，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CN，DM=DN，ME=NF，于是得到結(jié)論；
（4）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，如圖2（b），由（3）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．根據(jù)已知條件得到DM=DN=FN=EM，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵∠A=60°，∠EDF=120?，
∴∠AED=360°-∠A-∠AFD-∠EDF=90°，
∴DE⊥AB；

（2）連接AD，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，
∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，
∴AD是∠BAC的角平分線，
∴DM=DN，
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°
∵∠A=60°，
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△EMD和△FND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠FND}\\{DM=DN}\\{∠MDE=∠NDF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△FND，
∴DE=DF；

（3）如圖2（a）中，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

在△BDM與△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C=60°}\\{∠BMD=∠DNC=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
在△DME與△DNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠FDN}\\{∠DME=∠DNF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB；
如圖3，同理BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB，
綜上所述，線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系為：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB或BE-CF=$\frac{1}{2}$AB；

（4）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，如圖2（b），
∵∠B=∠ACD=60°．
由（3）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵DN=FN，
∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM=2BD×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∵AB=10，
∴BE+CF=5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵．