Question

13．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結(jié)論：①a-b+c＞0；②2a+b=0；
③當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＞am²+bm；④若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，則x₁+x₂=2．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是②③④．

Answer 1

分析 將x=-1代入解析式，結(jié)合圖象可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程得到-$\frac{2a}$=1，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用x=1時(shí)，函數(shù)有最大值對(duì)③進(jìn)行判斷；由ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂得到ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c，則可判斷x=x₁和x=x₂所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，則x₂-1=1-x₁，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線與x軸的交點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸x=1的距離大于1，
∴拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）與（3，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（-1，0）之間，
∴x=-1時(shí)，y＜0，
∴a-b+c＜0，
故①錯(cuò)誤；
∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{2a}$=1，即b=-2a，
∴2a+b=0，
故②正確；
∵x=1時(shí)，函數(shù)值最大，
∴a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm（m≠1），
故③正確；
當(dāng)ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，則ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c，
∴x=x₁和x=x₂所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，
∴x₂-1=1-x₁，
∴x₁+x₂=2，
故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是：②③④，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．