Question

20．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點(diǎn)，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、點(diǎn)F
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）連接OC，交⊙O于點(diǎn)G，若AB=4，求線段CE、CG與$\widehat{GE}$圍成的陰影部分的面積S．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接OE，分別求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面積，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，
又∵AC=CD，
∴AC=BC=CD，
∴△ABD為直角三角形，
∴AB⊥AD，
∵AB為直徑，
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：連接OE，
∵OA=OE，∠BAC=60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴∠AOE=60°，
∵CB=BA，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠EOC=30°，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，
∴AO=2，由勾股定理得：OC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
同理等邊三角形AOE邊AO上高是$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
S_陰影=S_△AOC-S_等邊△AOE-S_扇形EOG=$\frac{1}{2}•2•2\sqrt{3}-\frac{1}{2}•2•\sqrt{3}-\frac{30•π•{2}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}-\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形面積，扇形的面積，切線的判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．