Question

△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACE，連BE交AD于M；
（1）求證：MD=

1

2

BM；
（2）若AM=5，MD=2，求ME．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用條件證明∠BMD=60°即可，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)可求得∠BMD=∠AMG=∠GMC=∠EAG=60°，可證得結(jié)論；
（2）利用角平分線的性質(zhì)和△MCE∽△CGE，可得到線段之間的關(guān)系，代入可求得ME．

解答：證明：（1）如圖，連接CM，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD為BC垂直平分線，
∴BM=CM，
∴∠ABC=∠ACB，∠MBD=∠MCD，
∴∠ABM=∠ACM，
∵AB=AE，
∴∠ABM=∠AEB，
∴∠ACM=∠AEB，
又∵∠AGE=∠CGM，
∴∠EMC=∠EAC=60°，
又∵∠EMC=∠MBC+∠MCB，
∴∠MBC=30°，
∴MD=

1

2

BM；
（2）∵∠AME=∠BMD=60°=∠CME，
∴MG是△AMC的角平分線，
∴

AG

CG

=

AM

MC

=

5

4

，
∴CG=

4

9

AC，
∵△MCE∽△CGE，
∴

CG

CM

=

CE

ME

，
∴ME=

CE•CM

CG

=

4AC

4 9 AC

=9．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰、等邊三角形的性質(zhì)，在（1）中證得∠BMD=60°是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．